
遇到三角形中含有15°、75°、105°等特殊角的和差问题时,许多学生常因辅助线作法不当而卡壳。其实,只需掌握“作垂线”这一核心技巧,难题便能迎刃而解!本文结合2大典型例题,系统梳理辅助线的操作逻辑,让你轻松攻克这类压轴题。
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一、核心思路:化“和差角”为可解直角三角形特殊角的和差(如15°=45°-30°、75°=45°+30°、105°=60°+45°)本质是基本角的组合。当题目出现这类角时(例如例1中∠B=45°、∠C=15°),关键是通过向最大边作垂线,将原三角形分割为含30°、45°、60°等标准角的直角三角形。例如,作AD⊥BC后,△ABD和△ADC分别含45°和15°+?角,进而利用tan45°=1、sin15°=sin(45°-30°)等公式快速求边长。
二、实战步骤:垂线定位与计算口诀1. 识别特殊角组合:先判断角度是否为常见和差(如例2中∠A=75°=45°+30°)。
2. 作垂线定位:向最大边或已知边作高(如例1中向BC作AD⊥BC),确保新三角形包含特殊角。
3. 三角函数转化:设垂线段长为x,利用和差角公式或直接套用特殊值列方程。例如例1中,通过AD/BD=tan45°=1、AD/DC=tan15°≈0.27,结合BC=4解出AD,再求面积。
4. 验证优化:检查垂线是否生成等腰直角三角形(45°时)或1:√3:2比例三角形(30°/60°时)。
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三、案例精讲:从公园导览到面积求解· 例1面积问题:∠B=45°、∠C=15°、BC=4。作AD⊥BC后,△ABD为等腰Rt△,△ADC中含15°角,利用tan15°=2-√3≈0.27,解得AD=2,S△ABC=½×4×2=4。
· 例2实际应用:∠A=75°、∠B=45°,求BC距离。作CD⊥AB,将75°拆为45°+30°,在Rt△BCD中利用sin45°求BC,再结合速度算时间≈4.1分钟。关键是将复杂角转化为可计算模型。
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要领总结:见特殊角和差,必作垂线;设元列式,活用三角值;实际应用题,单位统一勿遗忘!
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